Mô hình Black-Scholes là gì? Các giả định của mô hình Black-Scholes

Mô hình Black-Scholes là gì?

Mô hình Black-Scholes còn được gọi là Black-Scholes-Merton (BSM) là một phương trình toán học vi phân được ứng dụng rộng rãi để định giá các hợp đồng quyền chọn. Mô hình Black-Scholes yêu cầu 5 biến đầu vào: giá thực hiện của một quyền chọn, giá cổ phiếu hiện tại, thời gian hết hạn, lãi suất phi rủi ro và biến động. Trên thực tế, đây là mô hình tương đối chính xác nhưng mô hình Black-Scholes đưa ra một số giả định nhất định có thể dẫn đến các dự đoán sai lệch so với kết quả trong thế giới thực.

Cha đẻ của mô hình định giá Black-Scholes

Lịch sử hình thành mô hình Black-Scholes

Mô hình Black-Scholes ra đời vào năm 1973, do 2 người đàn ông có tên là Fischer Black và Myron Scholes nghĩ ra. Đây được xem là mô hình toán học đầu tiên ứng dụng rộng rãi để tính toán giá trị lý thuyết của một hợp đồng quyền chọn.

Phương trình này lần đầu tiên xuất hiện trong bài báo của một tạp chí kinh tế, chính trị có tên là “Định giá các quyền chọn và nợ doanh nghiệp”. 

Năm 1977, Scholes và Merton được trao giải Nobel về khoa học kinh tế cho công trình tìm ra phương pháp tách các quyền chọn cổ phiếu khỏi rủi ro đối với chứng khoán cơ bản của chúng. Khi Fischer Black qua đời vào năm 1995, ông sẽ không đủ điều kiện để nhận giải thưởng nhưng đã được Viện Hàn lâm Nobel công nhận là người có đóng góp. 

Cách thức hoạt động của mô hình Black-Scholes

Mô hình Black-Scholes nhận định rằng các công cụ chẳng hạn như cổ phiếu hoặc hợp đồng quyền chọn sẽ phân phối giá bình thường theo bước đi ngẫu nhiên với sự thay đổi và biến động liên tục. Sử dụng giả định này và dựa vào biến số quan trọng khác, phương trình suy ra giá của một quyền chọn mua kiểu châu Âu.

Phương trình Black-Scholes bao gồm 5 yếu tố đầu vào: sự biến động, giá của tài sản cơ bản, giá thực hiện của quyền chọn, thời gian cho đến khi quyền chọn hết hạn và lãi suất phi rủi ro. Với những biến số này, về mặt lý thuyết, người bán quyền chọn có thể đặt giá hợp lý cho quyền chọn mà họ đang bán.

Hơn nữa, mô hình dự đoán rằng giá của các tài sản được giao dịch nhiều tuân theo chuyển động Brown hình học với sự biến động liên tục. Khi áp dụng cho một quyền chọn mua cổ phiếu, mô hình này kết hợp với sự thay đổi giá cổ phiếu, giá trị thời gian của tiền, giá thực hiện của quyền chọn và thời gian hết hạn của quyền chọn.

Giả định của mô hình Black-Scholes

Mô hình Black-Scholes đưa ra một số giả định cụ thể như sau:

• Không có cổ tức nào được trả trong suốt thời gian tồn tại của quyền chọn.
• Thị trường là ngẫu nhiên (tức là không thể dự đoán được các chuyển động của thị trường). 
• Không có chi phí giao dịch khi mua quyền chọn.
• Tỷ lệ phi rủi ro và sự biến động của tài sản cơ bản đã được biết trước và không đổi. 
• Lợi nhuận của tài sản cơ bản được phân phối bình thường.
• Là quyền chọn kiểu châu Âu

Mặc dù mô hình Black-Scholes về cơ bản không xem xét ảnh hưởng của cổ tức được trả trong thời gian tồn tại của quyền chọn, tuy nhiên mô hình này thường được điều chỉnh để tính đến cổ tức bằng cách xác định giá trị ngày giao dịch không hưởng cổ tức của cổ phiếu cơ sở. Mô hình này cũng được sửa đổi bởi nhiều nhà tạo lập thị trường bán quyền chọn để tính đến ảnh hưởng của các quyền chọn có thể được thực hiện trước khi hết hạn.

Ngoài ra, để định giá các quyền chọn kiểu Mỹ, các công ty sẽ sử dụng mô hình nhị thức, tam thức hoặc mô hình Bjerksund-Stendland. 

Công thức mô hình Black-Scholes

Trên thực tế, phương trình toán học của mô hình Black-Scholes rất phức tạp. Tuy nhiên, bạn không cần biết hoặc hiểu rõ mô hình này mà vẫn có thể áp dụng. Các nhà giao dịch có thể truy cập vào các ứng dụng hoặc nền tảng. Tại đó, có các công cụ phân tích quyền chọn thông minh bao gồm các chỉ báo và bảng tính thực hiện các tính toán và xuất ra các giá trị định giá quyền chọn.

Công thức của mô hình Black-Scholes

Trong đó: 

C:Giá của quyền chọn mua

S: Giá hiện tại của tài sản cơ sở

K: Giá thực hiện

r: Lãi suất phi rủi ro

t: Thời gian còn lại của hợp đồng

N: Phân phối chuẩn

Hạn chế của mô hình Black-Scholes

Mô hình Black-Scholes tồn tại một số hạn chế nhất định bao gồm:

• Giới hạn ở thị trường châu Âu: Như đã đề cập trên đây, mô hình Black-Scholes là một yếu tố quyết định chính xác giá quyền chọn châu Âu. Nó không định giá chính xác quyền chọn mua cổ phiếu ở Mỹ.
• Lãi suất phi rủi ro: Mô hình Black-Scholes giả định lãi suất không đổi nhưng nó hiếm khi là thực tế.
• Giả định về thị trường không ma sát: Giao dịch thường đi kèm với chi phí như chi phí môi giới, hoa hồng… Tuy nhiên, mô hình Black-Scholes giả định một thị trường không ma sát hay không có chi phí giao dịch. Điều này hầu như không bao giờ là thực tế trong thị trường giao dịch.
• Không có lợi nhuận: Mô hình Black-Scholes giả định không có lợi nhuận nào liên quan đến quyền chọn mua cổ phiếu. Không có cổ tức và không có thu nhập từ lãi suất. Thế nhưng trên thực tế, việc mua và bán các quyền chọn chủ yếu tập trung vào lợi nhuận.

Như vậy, chúng ta có thể thấy việc định giá một hợp đồng quyền chọn sử dụng mô hình Black-Scholes đòi hỏi nhiều giả định. Tuy nhiên không phải giả định nào cũng có thể áp dụng vào thực tế.